Question

（2012•武昌區模擬）已知數列{an}滿足：a1=2，an+1=3an+3n+1-2n(n∈N*)．
（I）設bn=

an-2n

3n

，證明：數列{b_n}為等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（II）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（III）設Cn=

an+1

an

(n∈N*)，是否存在k∈N*，使得Cn≤Ck對一切正整數n均成立，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）bn=

an-2n

3n

，利用等差數列的定義，即可證明{b_n}為等差數列，公差為1，由此可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用錯位相減法及等比數列的求和公式，即可求得結論；
（Ⅲ）根據通項計算前幾項，猜測C₁最大，再進行證明．

解答：（Ⅰ）證明：∵bn+1-bn=

an+1-2n+1

3n+1

-

an-2n

3n

=

3an+3n+1-2n-2n+1

3n+1

-

an-2n

3n

=1，
∴{b_n}為等差數列，公差為1．
又b₁=0，∴b_n=n-1，∴an=(n-1)•3n+2n．     …（4分）
（Ⅱ）解：設Tn=0•31+1•32+…+(n-1)•3n，則
3Tn=0•32+1•33+…+(n-1)•3n+1．∴-2Tn=32+…+3n-(n-1)•3n+1=

9(1-3n-1)

1-3

-(n-1)•3n+1．
∴Tn=

9-3n+1

4

+

(n-1)•3n+1

2

=

(2n-3)•3n+1+9

4

．
∴Sn=Tn+(2+22+…+2n)=

(2n-3)3n+1+2n+3+1

4

．…（8分）
（Ⅲ）解：由已知得Cn=

n•3n+1+2n+1

(n-1)3n+2n

，從而求得C1=

13

2

，  C2=

62

13

，  C3=

259

62

，…
猜測C₁最大，下證：
∵Cn-C1=

an+1

an

-

a2

a1

=

(n•3n+1+2n+1)•2-13[(n-1)•3n+2n]

an•a1

=

(13-7n)•3n-9.2n

an•a1

≤0，
∴存在k=1，使得C_n≤C_k對一切正整數n均成立．  …（12分）

點評：本題考查等差數列的定義，考查錯位相減法求和，考查恒成立問題，正確運用求和是關鍵．