Question

（2011•新余二模）已知函數(shù)f(x)=

3

sinωx+cos(ωx+

π

3

)+cos(ωx-

π

3

)-1（ω＞0，x∈R），且函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式并求f（x）的最小值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（B）=1，

BA

•

BC

=

9

2

，且a+c=3+

3

，求邊長b．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式把f（x）化簡合并后，前兩項(xiàng)提取2，利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，利用周期公式即可求出ω的值，代入即可確定出f（x）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的值域進(jìn)而求出f（x）的最小值；
（2）根據(jù)（1）中求出的f（x）的解析式，利用f（B）=1，即可求出B的度數(shù)，然后根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡已知的

BA

•

BC

=

9

2

，把B的度數(shù)代入即可求出ac的值，根據(jù)余弦定理表示出b的平方，變形后把a(bǔ)+c及ac的值代入即可求出b的值．

解答：解：（1）f(x)=

3

sinωx+cosωx-1=2sin(ωx+

π

6

)-1，
由

2π

ω

=π得ω=2，
所以f(x)=2sin(2x+

π

6

)-1，
所以x=kπ-

π

3

(k∈Z)時(shí)，f(x)min=-3；
（2）由f（B）=1得2sin(2B+

π

6

)-1=1，解得B=

π

6

，
又由

BA

•

BC

=

9

2

知accosB=

9

2

，所以ac=3

3

，
由余弦定理知：
b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB
=(3+

3

)2-2×3

3

-2×3

3

×

3

2

=3
所以b=

3

．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式化簡求值，掌握正弦函數(shù)的周期公式及值域，掌握平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，靈活運(yùn)用余弦定理化簡求值，是一道中檔題．