Question

如圖，在平面直角坐標系中，一單位圓的圓心的初始位置在（0，1），此時P點位置是原點，圓在x軸上沿正向滾動，當圓滾動到圓心位于（

3π

4

，1）時，

OP

的坐標為

（

3π

4

-

2

2

，1+

2

2

）

．

Answer 1

分析：設滾動后圓的圓心為O'，切點為A，連接O'P．過O'作與x軸正方向平行的射線，交圓O'于B（

3π

4

，1），設∠BO'P=θ，則根據圓的參數方程，得P的坐標為（

3π

4

+cosθ，1+sinθ），再根據圓的圓心從（0，1）滾動到（

3π

4

，1），算出θ=

3π

2

-

3π

4

=

3π

4

，結合三角函數的誘導公式，化簡可得P的坐標為（

3π

4

-sin

3π

4

，1-cos

3π

4

），即為向量

OP

的坐標．

解答：解：設滾動后的圓的圓心為O'，切點為A（

3π

4

，0），連接O'P，
過O'作與x軸正方向平行的射線，交圓O'于B（

3π

4

+1，1），
設∠BO'P=θ
∵⊙O'的方程為（x-

3π

4

）²+（y-1）²=1，
∴根據圓的參數方程，得P的坐標為（

3π

4

+cosθ，1+sinθ），
∵單位圓的圓心的初始位置在（0，1），圓滾動到圓心位于（

3π

4

，1）
∴∠AO'P=

3π

4

，可得θ=

3π

2

-

3π

4

=

3π

4

可得cosθ=-

2

2

，sinθ=

2

2

代入上面所得的式子，得到P的坐標為（

3π

4

-

2

2

，1+

2

2

），
∴

OP

的坐標為（

3π

4

-

2

2

，1+

2

2

），
故答案為：（

3π

4

-

2

2

，1+

2

2

）

點評：本題根據半徑為1的圓的滾動，求一個向量的坐標，著重考查了圓的參數方程和平面向量的坐標表示的應用等知識點，屬于中檔題．