Question

在等差數(shù)列{a_n}中，公差d≠0，a₂是a₁與a₄的等比中項(xiàng)，已知數(shù)列a₁，a₃，ak1，ak2，…，akn，…成等比數(shù)列，求數(shù)列{k_n}的通項(xiàng)k_n．

Answer 1

分析：由已知a₂是a₁與a₄的等比中項(xiàng)，我們可構(gòu)造一個(gè)關(guān)于數(shù)列基本量（首項(xiàng)與公差）的方程，解方程可以找到首項(xiàng)與公差的關(guān)系，又由a₁，a₃，ak1，ak2，…，akn，…成等比數(shù)列，則我們可以得到該數(shù)列的公比，進(jìn)而給出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步給出數(shù)列{k_n}的通項(xiàng)k_n．

解答：解：由題意得：a₂²=a₁a₄
即（a₁+d）²=a₁（a₁+3d）
又d≠0，∴a₁=d
又a₁，a₃，ak1，ak2，，akn，成等比數(shù)列，
∴該數(shù)列的公比為q=

a3

a1

=

3d

d

=3，
所以akn=a1•3n+1
又akn=a1+(kn-1)d=kna1
∴k_n=3ⁿ⁺¹
所以數(shù)列{k_n}的通項(xiàng)為k_n=3ⁿ⁺¹

點(diǎn)評(píng)：在求一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，如果可以證明這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，或等比數(shù)列，則可以求出其基本項(xiàng)（首項(xiàng)與公差或公比）進(jìn)而根據(jù)等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，如果未知這個(gè)數(shù)列的類型，則可以判斷它是否與某個(gè)等差或等比數(shù)列有關(guān)，間接求其通項(xiàng)公式．