Question

在長方體AC₁中，AA₁=AD=2，AB=4，M、N分別是AB與BC的中點，則直線A₁M與C₁N的位置關系是

相交

； 它們所成角的大小是

arccos

10

5

；點A到對角線B₁D的距離是

30

3

．

Answer 1

分析：①連接A₁C₁，MN，由題意可得：MN∥A₁C₁，并且MN=

1

2

A₁C₁，進而得到直線A₁M與C₁N相交．
②取A₁B₁，B₁C₁的中點分別為E，F，連接BE，NF，可得BE∥A₁M，BF∥C₁N，所以∠EBF與所求角相等或者互補，再利用解三角形的有關知識求出答案．
③設點A到對角線B₁D的距離是 h，根據長方體的結構特征可得：AB1⊥AD，可得△AB₁D為直角三角形，進而根據等面積法可得答案．

解答：解：長方體如圖所示：

①連接A₁C₁，MN，
因為在長方體AC₁中，M、N分別是AB與BC的中點，
所以MN∥A₁C₁，并且MN=

1

2

A₁C₁，
所以直線A₁M與C₁N相交，
所以直線A₁M與C₁N的位置關系是：相交．
②取A₁B₁，B₁C₁的中點分別為E，F，連接BE，NF，
因為M，E分別為AB，A₁B₁的中點，
所以BE∥A₁M，同理BF∥C₁N，
所以∠EBF與所求角相等或者互補．
因為在長方體AC₁中，AA₁=AD=2，AB=4，
所以在△BEF中有：BE=2

2

，BF=

5

，EF=

5

，
所以cos∠EBF=

10

5

，
所以直線A₁M與C₁N所成角的大小是arccos

10

5

．
③設點A到對角線B₁D的距離是 h，
根據長方體的結構特征可得：AB1⊥AD，
所以△AB₁D為直角三角形，并且AD=2，AB₁=2

5

，B₁D=2

6

，
所以根據等面積法可得：h=

AD•AB1

B1D

=

30

3

．
故答案為：相交；arccos

10

5

；

30

3

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握長方體的結構特征與空間中點、線、面得位置關系的判定，以及求空間角（平移法）與空間距離（等積法）的方法，也可以距離空間直角坐標系，利用空間向量的有關運算求空間角與空間距離，以及判斷線面的位置關系．