Question

已知函數(shù)f(x)=2cos2x+

3

sin2x，x∈R．
（I）求函數(shù)f（x）的最大值及此時(shí)x的值．
（II）若f(x-

π

12

)=

11

5

，且tanx＞1，求sin4x的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等變換公式，化簡(jiǎn)整理得f（x）=1+2sin（2x+

π

6

），再結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出f（x）的最大值及此時(shí)x的值．
（2）由（1）的表達(dá)式求出sin2x=

3

5

，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系并結(jié)合2x的范圍算出cos2x=

4

5

，最后利用二倍角的正弦公式即可算出sin4x的值．

解答：解：（1）∵2cos²x=1+cos2x，
∴f(x)=1+cos2x+

3

sin2x
=1+2(sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

)=1+2sin（2x+

π

6

），
∴當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

時(shí)，即x=kπ+

π

6

(k∈Z)時(shí)，f（x）取最大值3．
（II）∵f(x-

π

12

)=

11

5

，即1+2sin2x=

11

5

，解得sin2x=

3

5

．

∵tanx＞1

，∴x∈(kπ+

π

4

，kπ+

π

2

)．
可得cos2x=-

1-sin22x

=-

4

5

（舍正）．
∴由二倍角的正弦公式，得sin4x=2sin2xcos2x=-

24

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了二倍角的三角函數(shù)公式、輔助角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．