Question

是否存在常數a,b使等式對于一切n∈N*都成立？若存在，求出a,b的值，若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

詳見解析.

【解析】

試題分析：先假設存在符合題意的常數a，b，c，再令n=1，n=2，n=3構造三個方程求出a，b，c，再用用數學歸納法證明成立，證明時先證：（1）當n=1時成立．（2）再假設n=k（k≥1）時，成立，遞推到n=k+1時，成立即可．

試題解析：【解析】
若存在常數a，b使得等式成立，將n＝1，n＝2代入等式

有：

即有： 4分

對于n為所有正整數是否成立，再用數學歸納法證明

證明：（1）當n＝1時，等式成立。 5分

（2）假設n＝k時等式成立，即

7分

當n＝k＋1時，即

11分

也就是說n＝k＋1時，等式成立，

則：

∴＝60?

故：MD與平面OAC所成角為30? 8分

（3）設平面OBD的法向量為＝(x，y，z)，則

取＝(2，2，1)

則點A到平面OBD的距離為d＝ 12分

方法二：（1）由OA⊥底面ABCD，OA⊥BD。

∵底面ABCD是邊長為1的正方形

∴BD⊥AC ∴BD⊥平面OAC 4分

（2）設AC與BD交于點E，連結EM，則∠DME是直線MD與平面OAC折成的角

∵MD＝，DE＝

∴直線MD與平面OAC折成的角為30? 8分

（3）作AH⊥OE于點H。

∵BD⊥平面OAC

∴BO⊥AH

線段AH的長就是點A到平面OBD的距離。

∴AH＝

∴點A到平面OBD的距離為 12分

考點：1. 線面垂直的的判斷定理；2.線面成角.