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精英家教網如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側棱AA1⊥平面ABC,△ABC為等腰直角三角形,∠BAC=90°,
且AB=AA1,D,E,F分別是B1A,CC1,BC的中點.
(1)求證:DE∥平面ABC;
(2)求證:B1F⊥平面AEF;
(3)設AB=a,求三棱錐D-AEF的體積.
分析:(1)取AB中點O,連接CO,DO,根據中點尋找平行線即可;
(2)易證AF⊥B1F,在根據勾股定理的逆定理證明B1F⊥EF;
(3)由于點D是線段AB1的中點,故點D到平面AEF的距離是點B1到平面AEF距離的
1
2
,求出高按照三棱錐的體積公式計算即可.
解答:精英家教網解:(1)取AB中點O,連接CO,DO
DO∥AA1,DO=
1
2
AA1
,∴DO∥CE,DO=CE,
∴平行四邊形DOCE,∴DE∥CO,DE?平面ABC,CO?平面ABC,
∴DE∥平面ABC.(4分)
(2)等腰直角三角形△ABC中F為斜邊的中點,∴AF⊥BC
又∵直三棱柱ABC-A1B1C1,∴面ABC⊥面BB1C1C,∴AF⊥面C1B,∴AF⊥B1F
設AB=AA1=1,∴B1F=
6
2
,EF=
3
2
B1E=
3
2
,∴B1F2+EF2=B1E2,∴B1F⊥EF
又AF∩EF=F,∴B1F⊥面AEF.(8分)
(3)由于點D是線段AB1的中點,故點D到平面AEF的距離是點B1到平面AEF距離的
1
2
B1F=
a2+(
2
2
a)
2
=
6
2
a
,所以三棱錐D-AEF的高為
6
4
a
;在Rt△AEF中,EF=
3
2
a,AF=
2
2
a
,所以三棱錐D-AEF的底面面積為
6
8
a2
,故三棱錐D-AEF的體積為
1
3
×
6
8
a2×
6
4
a=
1
16
a3
.(12分)
點評:立體幾何中的中點與中點之間可以產生平行線,當問題涉及到中點時可以通過再找其中的中點作出輔助線;垂直關系的證明,關鍵是線線垂直的證明,基本方法是通過線面垂直證明線線垂直、計算證明線線垂直;在計算三棱錐體積時,一個技巧是更換頂點便于求出其高、一個是借助于頂點與其它點的關系求出其高度.
練習冊系列答案
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如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CC1⊥平面ABC,AC=BC=CC1=1,則直線A1C1和平面ACB1的距離等于
 
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(1)證明:DE⊥平面BCC1
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12
AA1,D是棱AA1的中點.
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(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比.

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(1)證明:AD⊥BC1
(2)證明:A1C∥平面AB1D.

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(2012•大連二模)如圖,三棱柱ABC-A′B′C′,cc′=
2
,BC′=
2
,BC=2,△ABC是以BC為底邊的等腰三角形,平面ABC⊥平面BCC′B′,E、F分別為棱AB、CC′的中點.
(I)求證:EF∥平面A′BC′;
(Ⅱ)若AC≤
2
,且EF與平面ACC'A'所成的角的余弦為
7
3
,求二面角C-AA'-B的大小.

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