Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱AA₁⊥平面ABC，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，
且AB=AA₁，D，E，F分別是B₁A，CC₁，BC的中點．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求證：B₁F⊥平面AEF；
（3）設AB=a，求三棱錐D-AEF的體積．

Answer 1

分析：（1）取AB中點O，連接CO，DO，根據中點尋找平行線即可；
（2）易證AF⊥B₁F，在根據勾股定理的逆定理證明B₁F⊥EF；
（3）由于點D是線段AB₁的中點，故點D到平面AEF的距離是點B₁到平面AEF距離的

1

2

，求出高按照三棱錐的體積公式計算即可．

解答：解：（1）取AB中點O，連接CO，DO
∵DO∥AA1，DO=

1

2

AA1，∴DO∥CE，DO=CE，
∴平行四邊形DOCE，∴DE∥CO，DE?平面ABC，CO?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．（4分）
（2）等腰直角三角形△ABC中F為斜邊的中點，∴AF⊥BC
又∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴面ABC⊥面BB₁C₁C，∴AF⊥面C₁B，∴AF⊥B₁F
設AB=AA₁=1，∴B1F=

6

2

，EF=

3

2

，B1E=

3

2

，∴B₁F²+EF²=B₁E²，∴B₁F⊥EF
又AF∩EF=F，∴B₁F⊥面AEF．（8分）
（3）由于點D是線段AB₁的中點，故點D到平面AEF的距離是點B₁到平面AEF距離的

1

2

．B1F=

a2+( 2 2 a)2

=

6

2

a，所以三棱錐D-AEF的高為

6

4

a；在Rt△AEF中，EF=

3

2

a，AF=

2

2

a，所以三棱錐D-AEF的底面面積為

6

8

a2，故三棱錐D-AEF的體積為

1

3

×

6

8

a2×

6

4

a=

1

16

a3．（12分）

點評：立體幾何中的中點與中點之間可以產生平行線，當問題涉及到中點時可以通過再找其中的中點作出輔助線；垂直關系的證明，關鍵是線線垂直的證明，基本方法是通過線面垂直證明線線垂直、計算證明線線垂直；在計算三棱錐體積時，一個技巧是更換頂點便于求出其高、一個是借助于頂點與其它點的關系求出其高度．