Question

在三棱錐P－ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA=，D為PA中點，二面角P－AC－B為，PC=2，AB=．

(1)求證AC⊥BD；

(2)求BD與底面ABC所成的角(用反正弦表示)；

(3)求三棱錐P－ABC的體積．

Answer 1

答案：
解析：

解 (1)如圖，取AC中點E，連結BE，DE，則DE∥PC．由PC⊥AC，知DE⊥AC．由△ABC為正三角形，得BE⊥AC．又DE∩BE=E，所以AC⊥平面DEB，．于是AC⊥DB． (2)由AC⊥平面DEB，，知平面DEB⊥底面ABC，∠DBE是DB與底面ABC所成角． 由DE⊥AC，BE⊥AC，知∠DEB是二面角P－AC－B的平面角．在△DEB中，DE=1，，∠DEB=．故得－2×1×3×cos=13，BD=． 由正弦定理，得， ∴sin∠DBE=． ∴所求角為arc sin． 另一解法是由AC⊥平面DEB，，知平面DEB⊥平面ABC． 作DF⊥平面ABC，F是垂足，F在BE的延長線上，∠DBF是DB與平面ABC所成的角． 由DE⊥AC，BE⊥AC，知∠DEB是二面角P－AC－B的平面角． 在 Rt△DBF中，DE=PC=1，BE=AB=3，∠DEB=，∠DEF=，DF=． 由余弦定理，知BD=，sin∠DEF==，故可得DB與底面ABC所成角為arc sin． (3)∵AC⊥平面DEB，， ∴平面DEB⊥平面PAC． 作B到平面PAC的垂線BG，G為垂足，G在DE的延長線上． 在Rt△BEG中，∠BEG=，BE=3，故BG=． ． 或由DF=，知P到平面ABC的距離為2DF=． ∴．