Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，an+1=1-

1

an

，記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之積為P_n，則P₂₀₁₃=

-1

．

Answer 1

分析：根據(jù)a₁=2，an+1=1-

1

an

計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，推出數(shù)列的周期，利用周期性可得答案．

解答：解：∵a₁=2，an+1=1-

1

an

，
∴a₂=1-

1

2

=

1

2

，a3=1-

1

a2

=1-2=-1，
a4=1-

1

a3

=1-（-1）=2，a5=1-

1

a4

=1-

1

2

，…，
∴{a_n}為周期數(shù)列，周期為3，
又a₁a₂a₃=2×

1

2

×（-1）=-1，
∴P₂₀₁₃=P_3×671=(a1a2a3)671=-1，
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推式及數(shù)列的函數(shù)特性，屬中檔題，由遞推式推導(dǎo)數(shù)列的周期是解決本題的關(guān)鍵所在．