Question

（2012•吉安二模）已知數列{a_n}是等差數列，a₁=1，a₁+a₂+a₃+…+a₁₀=100．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}的通項bn=1+

1

an

，記T_n是數列{b_n}的前n項之積，即T_n=b₁•b₂•b₃…b_n，試證明：T_n＞

an+1

．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的求和公式，確定數列的公差，即可求得數列的通項；
（2）利用數學歸納法進行證明，關鍵是第二步要利用歸納假設．

解答：（1）解：∵a₁=1，a₁+a₂+a₃+…+a₁₀=100，
∴10+45d=100，
∴d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1；
（2）證明：bn=1+

1

an

=1+

1

2n-1

，
T_n=b₁•b₂•b₃…b_n=（1+

1

1

）•（1+

1

3

）…（1+

1

2n-1

），
①當n=1時，2＞

3

成立；
②假設當n=k（k≥1，k∈N₊）時，命題成立，即（1+

1

1

）•（1+

1

3

）…（1+

1

2k-1

）＞

2k+1

成立，
當n=k+1時，T_k+1=（1+

1

1

）•（1+

1

3

）…（1+

1

2k-1

）（1+

1

2k+1

）＞

2k+1

(1+

1

2k+1

)=

2k+2

2k+1

∵

2k+1

×

2k+3

＜

(2k+1)+(2k+3)

2

=2k+2
∴

2k+2

2k+1

＞

2k+3

∴T_k+1＞

2k+3

即n=k+1時，命題成立
綜上，T_n＞

an+1

．

點評：本題考查等差數列的通項與求和，考查不等式的證明，解題的關鍵是掌握數學歸納法的證題步驟．