Question

（2012•惠州模擬）某商場準備在節日期間舉行促銷活動，根據市場調查，該商場決定從3種服裝商品、2種家電商品、4種日用商品中，選出3種商品進行促銷活動．
（1）試求選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率；
（2）商場對選出的商品采用有獎促銷，即在該商品現價的基礎上價格提高180元，同時允許顧客每購買1件促銷商品有3次抽獎的機會，若中獎，則每次中獎都可獲得獎金100元，假設顧客每次抽獎時中獎與否是等可能的，試分析此種有獎促銷方案對商場是否有利．

Answer 1

分析：（1）事件“至少有一種是日用商品”的對立事件是“商品中沒有日用商品”運用逆向思維，即可求選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率；
（2）求出顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額的期望值，與商場的提價數額比較，即可求得結論．

解答：解：（1）從3種服裝商品、2種家電商品、4種日用商品中，選出3種商品一共有

C

3 9

種選法，選出的3種商品中沒有日用商品的選法有

C

3 5

種，所以選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率為P=1-

C 3 5

C 3 9

=

37

42

．
（2）顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額是一隨機變量，設為X，其所有可能值為0，100，200，300．
所以P（X=0）=

C

0 3

×(

1

2

)0×(

1

2

)3=

1

8

，P（X=100）=

C

1 3

×(

1

2

)1×(

1

2

)2=

3

8

，P（X=200）=

C

2 3

×(

1

2

)2×(

1

2

)1=

3

8

，

P（X=300）=

C

3 3

×(

1

2

)3×(

1

2

)0=

1

8

于是顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額的期望值是E（X）=0×

1

8

+100×

3

8

+200×

3

8

+300×

1

8

=150．
因為150＜180，即顧客獲獎獎金總額的期望值小于商場的提價數額，所以促銷方案對商場有利．

點評：本題考查古典概型以及運用互斥事件求概率的方法，同時考查期望的求法，考查利用數學知識解決實際問題，屬于中檔題．