Question

【題目】在直角坐標系中，已知曲線：（為參數(shù)），曲線：（為參數(shù)），且，點P為曲線與的公共點.

（1）求動點P的軌跡方程；

（2）在以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為，求動點P到直線l的距離的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（）.（2）

【解析】

（1）設點，點P同時滿足曲線與的方程，消參得，，，由，即可求得點的軌跡方程；

（2）由，，將極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，動點為圓心在原點，半徑為2的圓，先求出圓心到直線的距離，即可求出動點到直線的取值范圍.

解析：（1）設點P的坐標為.

因為點P為曲線與的公共點，所以點P同時滿足曲線與的方程.

曲線消去參數(shù)可得，曲線消去參數(shù)可得.

由，所以.

所以點P的軌跡方程為（）.

（2）由已知，直線l的極坐標方程，

根據(jù)，可化為直角坐標方程：.

因為P的軌跡為圓（去掉兩點），

圓心O到直線l的距離為，

所以點P到直線l的距離的取值范圍為.