Question

若定義在（-∞，1）∪（1，+∞）上的函數y=f（x）滿足f（x+2）=f（-x），且當x∈（1，+∞）時，，則下列結論中正確的是（ ）
A．存在t∈R，使f（x）≥2在恒成立
B．對任意t∈R，0≤f（x）≤2在恒成立
C．對任意t∈R^-，f（x）在上始終存在反函數
D．對任意t∈R⁺，f（x）在上始終存在反函數

Answer 1

【答案】分析：函數y=f（x）滿足f（x+2）=f（-x），得出函數y=f（x）的圖象關于x=1對稱，根據已知條件作出函數f（x）的圖象，如圖所示．觀察圖象利用圖解法對選項一一進行驗證即可．
解答：解：∵函數y=f（x）滿足f（x+2）=f（-x），
∴函數y=f（x）的圖象關于x=1對稱，
且當x∈（1，+∞）時，，
作出函數f（x）的圖象，如圖所示．觀察圖象得：
A：不存在t∈R，使f（x）≥2在長度為1的區間上恒成立；故A錯．
B：對任意t∈R，0≤f（x）≤2在不是恒成立；故B錯．
C：任意t∈R^-，f（x）在上始終是單調函數，故存在反函數；C正確．
D：對任意t∈R⁺，f（x）在上不是始終是單調的，不一定存在反函數；故D錯．
故選C．
點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數對稱性的應用、帶絕對值的函數等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．