Question

如圖，過拋物線x²=4y的對稱軸上任一點P（0,m）(m>0)作直線與拋物線交于A,B兩點，點Q是點P關(guān)于原點的對稱點。

（I）設(shè)點P分有向線段所成的比為，證明:

（II）設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過A,B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程.

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，可設(shè)直線AB的方程為 代入拋物線方程得   

     ①

設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別是 、、x₂是方程①的兩根.

所以     

由點P（0，m）分有向線段所成的比為，

得

又點Q是點P關(guān)于原點的對稱點，

故點Q的坐標(biāo)是（0，－m），從而.

               

               

所以 

（Ⅱ）由 得點A、B的坐標(biāo)分別是（6，9）、（－4，4）.

由   得

所以拋物線 在點A處切線的斜率為

設(shè)圓C的方程是

則

解之得

所以圓C的方程是 

即