Question

已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的一系列對應值如表：

x	…		0					…
y	…	0	1		0	-1	0	…

（1）求f（x）的解析式；
（2）若在△ABC中，AC=2，BC=3，（A為銳角），求△ABC的面積．

Answer 1

解：（1）由題中表格給出的信息可知，
函數f（x）的周期為T=-（-）=π，且ω＞0，
∴ω==2，
由表格得：sin[2×（-）+φ]=0，可得：φ=+2kπ（k∈Z），
由0＜φ＜π，所以φ=，
所以函數的解析式為f（x）=sin（2x+）=cos2x；…（6分）
（2）∵f（A）=cos2A=-，且A為銳角，
∴2A=，即A=，
在△ABC中，AC=2，BC=3，
由正弦定理得=，
∴sinB==，
∵BC＞AC，∴B＜A=，∴cosB=，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，
又AC=2，BC=3，
∴S△ABC=AC•BC•sinC=．…（12分）
分析：（1）觀察表格可得出函數f（x）的周期為π，根據周期公式及ω大于0，可得出ω的值，然后再將x=-時，y=0代入函數解析式中，并根據φ的范圍，利用正弦函數的圖象與性質得出φ的度數，將ω及φ的值代入，即可確定出函數f（x）的解析式；
（2）由第一問確定出的函數解析式，以及f（A）=-，根據A為銳角，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，進而確定出sinA及cosA的值，由sinA，AC及C的值，利用正弦定理求出sinB的值，由BC大于AC，根據大邊對大角可得出B小于A，得到B的范圍，由sinB的值，利用同角三角函數間的基本關系求出cosB的值，然后利用誘導公式得到sinC=sin（A+B），將sin（A+B）利用兩角和與差的正弦函數公式化簡后，將各自的值代入求出sin（A+B）的值，即為sinC的值，最后由AC，BC及sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．
點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：三角函數的周期公式，正弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，誘導公式，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．