Question

已知橢圓（a＞b＞0）的焦距為，離心率為．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過橢圓頂點B（0，b），斜率為k的直線交橢圓于另一點D，交x軸于點E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比數列，求k²的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知，可求a，c結合b²=a²-c²=1即可求b，進而可求橢圓方程
（Ⅱ）由（Ⅰ）得過B點的直線為y=kx+1，聯立直線y=kx+1與橢圓方程可求D的坐標，及k的取值范圍，由|BD|，|BE|，|DE|成等比，可得|BE|²=|BD||DE|，即（1-y_D）|y_D|=1
，解方程可求
解答：解：（Ⅰ）由已知，．…（2分）
解得，…（4分）
所以b²=a²-c²=1，
橢圓的方程為．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得過B點的直線為y=kx+1，
由得（4k²+1）x²+8kx=0，…（6分）
所以，所以，…（8分）
依題意k≠0，．
因為|BD|，|BE|，|DE|成等比數列，所以|BE|²=|BD||DE|，…（9分）
所以b²=（1-y_D）|y_D|，即（1-y_D）|y_D|=1，…（10分）
當y_D＞0時，y_D²-y_D+1=0，無解，…（11分）
當y_D＜0時，y_D²-y_D-1=0，解得，…（12分）
所以，解得，
所以，當|BD|，|BE|，|DE|成等比數列時，．…（14分）
點評：本題主要考查了由橢圓的性質求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交關系的應用，及等比數列的應用，屬于綜合性試題