Question

已知橢圓的長軸長為4，離心率為，F₁，F₂分別為其左右焦點．一動圓過點F₂，且與直線x=-1相切．
（Ⅰ） （ⅰ）求橢圓C₁的方程；（ⅱ）求動圓圓心軌跡C的方程；
（Ⅱ）在曲線C上有四個不同的點M，N，P，Q，滿足與共線，與共線，且，求四邊形PMQN面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用待定系數法求出橢圓C₁的a，b，c即可；因一動圓過點F₂，且與直線x=-1相切可得此圓心到定點和到定直線的距離相等，它是拋物線，從而解決；
（Ⅱ）欲求四邊形PMQN面積的最小值，先建立面積關于某一個變量的函數關系式，設直線MN的方程為：y=k（x-1）
利用拋物線定義求出|MN|，再結合向量垂直關系求得|PQ|，最后利用基本不等式求出所列函數的最小值即可．
解答：解：（Ⅰ）（ⅰ）由已知可得，
則所求橢圓方程．
（ⅱ）由已知可得動圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線C的焦點為（1，0），準線方程為x=-1，則動圓圓心軌跡方程為C：y²=4x．
（Ⅱ）由題設知直線MN，PQ的斜率均存在且不為零
設直線MN的斜率為k（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則直線MN的方程為：y=k（x-1）
聯立C：y²=4x消去y可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由拋物線定義可知：
設直線PQ的方程為，與橢圓的方程聯立得
化簡后，利用弦長公式可得|PQ|=
又
令1+k²=t＞1
故有
又∈（0，3）
可得
所以四邊形PMQN面積的最小值為8．
點評：本小題主要考查曲線與方程，直線和圓錐曲線等基礎知識，以及求平面圖形面積最小值的基本技能和綜合運用數學知識解決問題的能力．