Question

【題目】已知函數.

（1）當a=1時，討論f（x）的單調性；

（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，單調遞減，當時，單調遞增.（2）

【解析】

(1)由題意首先對函數二次求導，然后確定導函數的符號，最后確定原函數的單調性即可.

(2)首先討論x=0的情況，然后分離參數，構造新函數，結合導函數研究構造所得的函數的最大值即可確定實數a的取值范圍.

(1)當時，，，

由于，故單調遞增，注意到，故：

當時，單調遞減，

當時，單調遞增.

(2)由得，，其中，

①.當x=0時，不等式為：，顯然成立，符合題意；

②.當時，分離參數a得，，

記，，

令，

則，，

故單調遞增，，

故函數單調遞增，，

由可得：恒成立，

故當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減；

因此，,

綜上可得，實數a的取值范圍是.