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坐標平面中，向量
w
與向量
v
=(2，
5
)互相垂直且等長．請問下列哪些選項是正確的？
（1）向量
w
必為(
5
，-2)或(-
5
，2)
（2）向量
v
+
w
與
v
-
w
等長
（3）向量
v
+
w
與
w
的夾角可能為135°
（4）若向量
u
=a
v
+b
w
，其中，a，b為實數，則向量
u
的長度為
a2+b2

（5）若向量(1，0)=c
v
+d
w
，其中c，d為實數，則c＞0．
分析：（1）由向量
w
與向量
v
互相垂直且等長，可設
w
=(x，y)，列方程組求出；
（2）求出向量
v
+
w
與
v
-
w
的模長；
（3）求出向量
v
+
w
與
w
的夾角；
（4）求出向量
u
的長度；
（5）由向量(1，0)=c
v
+d
w
，列方程組，求出實數c，即可．
解答：解：（1）設
w
=(x，y)，∵
w
⊥
v
?
w
•
v
=0?2x+
5
y=0①；
又∵|
w
|=|
v
|?
x2+y2
=
22+(
5
)2
?x2+y2=9②；
由①②可得：(x，y)=(-
5
，2)或(
5
，-2)，故結論正確；
（2）∵
v
+
w
=(2-
5
，
5
+2)，
v
-
w
=(2+
5
，
5
-2)，
或
v
+
w
=（2+
5
，
5
-2），
v
-
w
=（2-
5
，
5
+2）；
∴|
v
+
w
|=|
v
-
w
|=
(2-
5
)2+(
5
+2)2
=
18
=3
2
，故結論正確；
（3）設
v
+
w
與
w
的夾角為θ，則cosθ=
(
v
+
w
)•
w
|
v
+
w
|×|
w
|
=
v
•
w
+|
w
|2
|
v
+
w
|×|
w
|
=
|
w
|2
|
v
+
w
|×|
w
|
=
1
2
?θ=45°，
故（3）結論不正確；
（4）∵
u
=a
v
+b
w
=(2a-
5
b，
5
a+2b)或(2a+
5
b，
5
a-2b)，
∴|
u
|=
(2a-
5
b)2+(
5
a+2b)2
=3
a2+b2
，故結論不正確；
（5）∵c
v
+d
w
=(1，0)?(2c-
5
d，
5
c+2d)=(1，0)或(2c+
5
d，
5
c-2d)=(1，0)?
2c-
5
d=1
5
c+2d=0
或
2c+
5
d=1
5
c-2d=0
?c=
2
9
，∴c＞0結論正確；
點評：本題是平面向量性質的綜合應用，考查了求向量的模長，夾角，向量相等，以及解方程組等問題的基本解法，和等價轉化思想，要區分向量運算與數的運算，以避免出現錯誤．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，已知A1（-3，0），A2（3，0），P（x，y），M(
x2-9
，0)，O為坐標原點，若實數λ使向量
A1P
，λ
OM
和
A2P
滿足：λ2(
OM
)2=
A1P
•
A2P
，設點P的軌跡為W．
（Ⅰ）求W的方程，并判斷W是怎樣的曲線；
（Ⅱ）當λ=
3
3
時，過點A1且斜率為1的直線與W相交的另一個交點為B，能否在直線x=-9上找到一點C，恰使△A1BC為正三角形？請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設,在平面直角坐標系中,已知向量,向量,,動點的軌跡為E.

（1）求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（2）已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且(O為坐標原點),并求出該圓的方程;

(3)已知,設直線與圓C:(1<R<2)相切于A1,且與軌跡E只有一個公共點B1,當R為何值時,|A1B1|取得最大值?并求最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知A1（-3，0），A2（3，0），P（x，y），M數學公式，O為坐標原點，若實數λ使向量數學公式，數學公式和數學公式滿足：數學公式，設點P的軌跡為W．
（Ⅰ）求W的方程，并判斷W是怎樣的曲線；
（Ⅱ）當數學公式時，過點A1且斜率為1的直線與W相交的另一個交點為B，能否在直線x=-9上找到一點C，恰使△A1BC為正三角形？請說明理由．

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科目：高中數學 來源：臺灣 題型：解答題

坐標平面中，向量
w
與向量
v
=(2，
5
)互相垂直且等長．請問下列哪些選項是正確的？
（1）向量
w
必為(
5
，-2)或(-
5
，2)
（2）向量
v
+
w
與
v
-
w
等長
（3）向量
v
+
w
與
w
的夾角可能為135°
（4）若向量
u
=a
v
+b
w
，其中，a，b為實數，則向量
u
的長度為
a2+b2

（5）若向量(1，0)=c
v
+d
w
，其中c，d為實數，則c＞0．

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