Question

設函數f（x）=x²+aln（x+1）
（Ⅰ）若a=-4，寫出函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在[2，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）若區間[0，1]上，函數f（x）在x=0處取得最大值，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=-4時，f′(x)=2x-

4

x+1

=

2(x+2)(x-1)

x+1

，(x＞-1)，由此能求出函數f（x）的單調區間．
（Ⅱ）f′(x)=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

，(x＞-1)，由函數f（x）在[2，+∞）上單調遞增，知2x²+2x+a＞0在[2，+∞）上恒成立，由此能求出實數a的取值范圍．
（Ⅲ）對于方程2x²+2x+a=0，△=4-8a，當△≤0時，f'（x）＞0，f（x）在區間[0，1]上單調遞增不合題意．當△＞0時，設x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程2x²+2x+a=0的兩個根，由此能求出實數a的取值范圍．

解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）a=-4，f（x）=x²-4ln（x+1）（x＞-1），
f′(x)=2x-

4

x+1

=

2(x+2)(x-1)

x+1

，(x＞-1)，（2分）
∴當-1＜x＜1時f'（x）＜0，
當x＞1時f'（x）＞0
∴函數f（x）在（-1，1）上單調遞減，
在（1，+∞）上單調遞增，（5分）
（Ⅱ）f′(x)=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

，(x＞-1)
∵函數f（x）在[2，+∞）上單調遞增，
∴2x²+2x+a＞0在[2，+∞）上恒成立，（8分）
令t=2x2+2x=2(x+

1

2

)2-

1

2

，(x≥2)，則t≥12
∴a≥-12．（10分）
（Ⅲ）對于方程2x²+2x+a=0，△=4-8a
當△≤0時，f'（x）＞0，f（x）在區間[0，1]上單調遞增不合題意
當△＞0時，設x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程2x²+2x+a=0的兩個根，（12分）
根據題意有x₁＜0＜x₂且f（0）＞f（1）
∴

a＜0 aln1＞1+aln2 4-8a＞0

，解得a＜-log₂e
∴實數a的取值范圍為（-∞，-log₂e）．（14分）

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．