Question

11．設三個數$\sqrt{（x-\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{（x+\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$成等差數列，記（x，y）所對應點的曲線是C．
（1）求曲線C的方程；
（2）已知點M（1，0），點N（3，2），過點M任作直線l與曲線C相交于A，B兩點，設直線AN，BN的斜率分別為k₁，k₂，問k₁+k₂是否為定值？請證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據題意，分析可得$\sqrt{（x-\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x+\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，由橢圓的定義可得點P（x，y）對應的曲線方程C是橢圓，進而由題意可得a、c的值，計算可得b的值，代入橢圓的標準方程即可得答案；
（2）根據題意，分2種情況討論：、①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，代入橢圓的方程可得A，B兩點的坐標，計算可得k₁+k₂的值，②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），聯立直線與橢圓的方程，可得（3k²+1）x²-6k²x+3k²-3=0．由根與系數的關系分析可得x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}$．結合直線的方程可得k₁+k₂═$\frac{2-{y}_{1}}{3-{x}_{1}}$+$\frac{2-{y}_{2}}{3-{x}_{2}}$，將其變形化簡可得k₁+k₂的值，綜合2種情況即可得答案．

解答 解：（1）、依題意：三個數$\sqrt{（x-\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{（x+\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$成等差數列，
則有$\sqrt{（x-\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x+\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
所以點P（x，y）對應的曲線方程C是橢圓，
得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}}\\{c=\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
故b=1
橢圓C方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，
（2）、①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1．由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=±\frac{\sqrt{6}}{3}.\end{array}$
不妨設A（1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），B（1，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
因為k₁+k₂=2，
②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1）．
將y=k（x-1）代入$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，
整理得（3k²+1）x²-6k²x+3k²-3=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}$．
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
所以k₁+k₂=$\frac{2-{y}_{1}}{3-{x}_{1}}$+$\frac{2-{y}_{2}}{3-{x}_{2}}$
=$\frac{（2-{y}_{1}）（3-{x}_{2}）+（2-{y}_{2}）（3-{x}_{1}）}{（3-{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}$
=$\frac{[2-k（{x}_{1}-1）]（3-{x}_{2}）+[2-k（{x}_{2}-1）]（3-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}-3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}$
=$\frac{2（12{k}^{2}+6）}{12{k}^{2}+6}$=2
即k₁+k₂=2，
綜合可得：其k₁+k₂值為定植為2．

點評 本題考查橢圓與直線的位置關系，涉及橢圓的定義以及標準方程，（2）中不能忽略直線斜率不存在的情況．