Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面邊長為1的正四棱柱，高AA₁=2，
求（1）異面直線BD與AB₁所成角的大小（結果用反三角函數(shù)值表示）．
（2）求點C到平面BDC₁的距離及直線B₁D與平面CDD₁C₁所成的角．

Answer 1

解：（1）如圖所示，建立空間直角坐標系．
則A₁（0，0，0），B₁（1，0，0），C₁（1，1，0），D₁（0，1，0），A（0，0，2），B（1，0，2），C（1，1，2），D（0，1，2），
∴，=（1，0，-2）．
∴===．
∴異面直線BD與AB₁所成角=．
（2）由（1）可知：，．
設平面BDC₁的法向量為，
則，即，令z=1，則x=2，y=2．
∴．
∴點C到平面BDC₁的距離d===．
（3）由（1）可知：=（-1，1，2）．
∵A₁D₁⊥平面CDD₁C₁，∴可取=（0，1，0）作為平面CDD₁C₁的法向量．
設直線B₁D與平面CDD₁C₁所成的角為θ．
則sinθ====．
分析：通過建立空間直角坐標系，（1）利用異面直線的方向向量所成的夾角即可得出；（2）求出平面BDC₁的法向量，利用點C到平面BDC₁的距離公式d=即可得出；
（3）求出平面CDD₁C₁的法向量，利用sinθ==即可得出．
點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系、由異面直線的方向向量所成的夾角求異面直線所成的角、點C到平面BDC₁的距離公式d=、由sinθ==求線面角是解題的關鍵．