Question

（2009•武昌區(qū)模擬）設(shè)函數(shù)f(x)=

a

•

b

，其中向量

a

=(m，cosx)，

b

=(1+sinx，1)，x∈R，且f(

π

2

)=2．   
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值； 
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上的最大值．

Answer 1

分析：（I）由已知中向量

a

=(m，cosx)，

b

=(1+sinx，1)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算法則，我們易求出函數(shù)的解析式，結(jié)合f(

π

2

)=2，我們可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于m的方程，進(jìn)而求出m的值．
（II）由（I）中結(jié)論，我們可以求出函數(shù)f（x）的解析式，利用輔助角公式，我們可將其化為正弦型函數(shù)的形式，進(jìn)而根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上的最大值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

a

•

b

=m(1+sinx)+cosx．（3分）
由f(

π

2

)=m(1+sin

π

2

)+cos

π

2

=2，得m=1． （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=sinx+cosx+1=

2

sin(x+

π

4

)+1．（8分）
由-

π

2

≤x≤

π

2

，得-

π

4

≤x+

π

4

≤

3π

4

．
∴當(dāng)x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

4

時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值

2

+1．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的最值，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，其中（I）的關(guān)鍵是根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算公式，結(jié)合f(

π

2

)=2，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于m的方程，（II）的關(guān)鍵是輔助角公式，將函數(shù)f（x）的解析式化為正弦型函數(shù)的形式．