Question

6．在△ABC中，cos2A-3cos（B+C）-1=0．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的外接圓半徑為1，試求該三角形面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用二倍角的余弦函數公式，三角形內角和定理，誘導公式化簡可得2cos²A+3cosA-2=0，解得cosA的值，結合范圍0＜A＜π，即可得解A的值．
（2）由已知及正弦定理可求a=2RsinA=$\sqrt{3}$，又利用余弦定理，基本不等式可得bc≤3，利用三角形面積公式即可得解三角形面積的最大值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵cos2A-3cos（B+C）-1=0．
∴2cos²A+3cosA-2=0，…2分
∴解得：cosA=$\frac{1}{2}$，或-2（舍去），…4分
又∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$…6分
（2）∵a=2RsinA=$\sqrt{3}$，…（8分）
又∵a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥bc，
∴bc≤3，當且僅當b=c時取等號，…（10分）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴三角形面積的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$． …（12分）

點評 本題主要考查了二倍角的余弦函數公式，三角形內角和定理，誘導公式，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．