Question

已知雙曲線的右準線為y軸，且經過（1，2）點，其離心率是方程2x²-5x+2=0的根．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）求雙曲線右頂點的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設雙曲線的離心率為e，由雙曲線的性質可得：e＞1，再解方程即可得到雙曲線的離心率．
（2）設雙曲線右頂點的坐標為（x，y）（x＞0），實半軸長，虛半軸長及半焦距分別為a，b，c，由（1）可得：c=2a，由雙曲線的右準線為y軸可得a=2x，c=4x，進而得到雙曲線的右焦點F為（3x，y），再根據雙曲線的定義即可得到答案．

解答：解：（1）設雙曲線的離心率為e，由雙曲線的性質可得：e＞1，
因為方程2x²-5x+2=0的解是x1=

1

2

，x₂=2，
所以e=2，即所求離心率為2．
（2）設雙曲線右頂點的坐標為（x，y）（x＞0），實半軸長，虛半軸長及半焦距分別為a，b，c，由

c

a

=2得c=2a，b=

3

a．
因為雙曲線的右準線為y軸，
所以x=a-

a2

c

=a-

a

2

=

a

2

，即a=2x，c=4x，
所以雙曲線的右焦點F為（3x，y）．
因為雙曲線經過（1，2）點，
所以

(3x-1)2+(y-2)2

1

=e=2，
所以整理可得：（3x-1）²+（y-2）²=4．
所以雙曲線右頂點的軌跡方程為（3x-1）²+（y-2）²=4．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握雙曲線的定義、方程與有關的性質，以及求軌跡的方法，如此題運用的直接法，還有間接法，相關點代入法，定義法，交軌法等方法．