Question

已知S_n是數列{a_n}的前n項和，a1=

3

2

，a₂=2，且S_n+1-3S_n+2S_n-1+1=0，其中n≥2，n∈N^*．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）（理科）計算

lim

n→∞

Sn-n

an

的值．
（文科）求S_n．

Answer 1

分析：（1）利用Sn的遞推關系導出a_n的遞推關系，再利用配湊法推出數列{a_n}的通項公式a_n．
（2）文科：由數列{a_n}的通項公式，再利用分組求和求出Sn．
      理科：由數列{a_n}的通項公式，再利用分組求和求出Sn，最后利用極限知識得解．

解答：解：①∵S_n+1-3S_n+2S_n-1+1=0?S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）-1?a_n+1=2a_n-1（n≥2）（（2分））
又a1=

3

2

，a₂=2也滿足上式，
∴a_n+1=2a_n-1（n∈N^*）?a_n+1-1=2（a_n-1）（n∈N^*）
∴數列{a_n-1}是公比為2，首項為a1-1=

1

2

的等比數列（4分）
an-1=

1

2

×2n-1=2n-2（（6分））
②S_n=a₁+a₂++a_n=（2^-1+1）+（2⁰+1）+（2¹+1）++（2^n-2+1）
②S_n=a₁+a₂++a_n=（2^-1+1）+（2⁰+1）+（2¹+1）++（2^n-2+1）
=（2^-1+2⁰+2¹+2^n-2）+n=

2n-1

2

+n（9分）
于是

lim

x→∞

Sn-n

an

=

lim

x→∞

2n-1

2n-1+2

=

lim

x→∞

1- 1 2n

1 2 + 2 2n

=2（12分）

點評：（1）本題考查由Sn的遞推關系導出a_n的知識：注意1：a_n與Sn的關系，2：配湊發求通項的方法． 
（2） 考查分組求和及極限的知識：注意分組求和的方法應用，高考中常用．