Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）．
（1）設橢圓的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差數列，求橢圓C的方程；
（2）對（1）中的橢圓C，直線y=x+1與C交于P、Q兩點，求|PQ|的值；
（3）設B為橢圓C：（a＞b＞0）的短軸的一個端點，F為橢圓C的一個焦點，O為坐標原點，記∠BFO=θ．當橢圓C同時滿足下列兩個條件：①；②a²+b²=2a²b²．求橢圓長軸的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據條件列出關于a²，b²，c²的方程，求出a²，b²，c²即可得到橢圓方程；
（2）把直線方程與橢圓方程聯立得到關于P、Q兩點坐標之間的關系，再結合兩點間的距離公式即可求|PQ|的值；
（3）先根據①知，再結合②整理去掉b即可求出橢圓長軸的取值范圍（注意長軸的長是指2a）．
解答：（本題滿分（16分），第1題（4分），第2題（6分），第3題6分）
解：（1）由已知，a²=b²+1，且2b²=a²+1，…（2分）
解得a²=3，b²=2，所以橢圓C的方程是．…（4分）
（2）將y=x+1代入橢圓C的方程，得，化簡得，5x²+6x-3=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，，…（6分）
所以，|PQ|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=2（x₁-x₂）²=2[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=，
所以．…（10分）
（3）由①知，，即，…（11分）
由②得，，而，即，…（13分）
解得，…（15分）
所以，橢圓長軸的取值范圍是．…（16分）
點評：本題主要考查圓錐曲線與數列，兩點間距離公式以及解析幾何的綜合．