Question

定義變換T：可把平面直角坐標系上的點P（x，y）變換到這一平面上的點P′（x′，y′）．特別地，若曲線M上一點P經變換公式T變換后得到的點P'與點P重合，則稱點P是曲線M在變換T下的不動點．
（1）若橢圓C的中心為坐標原點，焦點在x軸上，且焦距為，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2．求該橢圓C的標準方程．并求出當時，其兩個焦點F₁、F₂經變換公式T變換后得到的點F_1^′和F₂^′的坐標；
（2）當時，求（1）中的橢圓C在變換T下的所有不動點的坐標；
（3）試探究：中心為坐標原點、對稱軸為坐標軸的雙曲線在變換T：（，k∈Z）下的不動點的存在情況和個數．

Answer 1

【答案】分析：（1）設橢圓C的標準方程為（a＞b＞0），求出c，a，b然后結合定義變換T，求出點F_1^′和F₂^′的坐標．
（2）時，利用（1）中的橢圓C在變換T下，點P（x，y）∈C，根據橢圓方程求出的不動點的坐標；
（3）設P（x，y）是雙曲線在變換下的不動點，推出，設雙曲線方程為（mn＜0），代入，推出 討論mn＜0，故當時，方程無解；
當時，要使不動點存在，則需，
因為mn＜0，故當時，雙曲線在變換T下一定有2個不動點，否則不存在不動點．
進一步分類：
（i）當n＜0，m＞0下一定有2個不動點；
（ii）當n＞0，m＜0時，雙曲線在變換T下一定有2個不動點．
解答：解：（1）設橢圓C的標準方程為（a＞b＞0），
由橢圓定義知焦距，即a²-b²=2①．
又由條件得a²+b²=4②，故由①、②可解得a²=3，b²=1．
即橢圓C的標準方程為．
且橢圓C兩個焦點的坐標分別為和．
對于變換T：，當時，
可得
設F₁^′（x₁，y₁）和F₂^′（x₂，y₂）分別是由和的坐標由變換公式T變換得到．于是，，即F₁^′的坐標為；
又即F₂^′的坐標為．
（2）設P（x，y）是橢圓C在變換T下的不動點，則當時，
有⇒x=3y，由點P（x，y）∈C，即P（3y，y）∈C，
得：，因而橢圓
的不動點共有兩個，分別為和．
（3）設P（x，y）是雙曲線在變換
下的不動點，則由⇒
因為，k∈Z，故．
不妨設雙曲線方程為（mn＜0），由代入得
則有，
因為mn＜0，故當時，方程無解；
當時，要使不動點存在，則需，
因為mn＜0，故當時，雙曲線在變換T下一定有2個不動點，否則不存在不動點．
進一步分類可知：
（i）當n＜0，m＞0時，即雙曲線的焦點在
軸上時，；
此時雙曲線在變換
下一定有2個不動點；
（ii）當n＞0，m＜0時，即雙曲線的焦點在y軸上時，．
此時雙曲線在變換T下一定有2個不動點．
點評：本題考查解橢圓的應用，橢圓的簡單性質，考查分析問題解決問題的能力，轉化思想，計算能力，分類討論思想，是難題，創新題．