Question

設函數f（x）的定義域為D，若存在非零實數m滿足?x∈M（M⊆D），均有x+m∈D，且f（x+m）≥f（x），則稱f（x）為M上的m高調函數．如果定義域為R的函數f（x）是奇函數，當x≥0時，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）為R上的4高調函數，那么實數a的取值范圍是（　　）

A．[-1，1]

B．（-1，1）

C．[-2，2]

D．（-2，2）

Answer 1

分析：定義域為R的函數f（x）是奇函數，當x≥0時，f（x）=|x-a²|-a²，畫出函數圖象，根據高調函數的定義可知4≥3a²-（-a²），解之即可求出a的取值范圍．

解答：解：定義域為R的函數f（x）是奇函數，
當x≥0時，f（x）=|x-a²|-a²=

x-2a2(x≥a2) -x(0≤x＜a2)

，
根據解析式和函數是奇函數進行畫圖，圖象如右圖，
∵f（x）為R上的4高調函數，當x＜0時，函數的最大值為a²，要滿足f（x+4）≥f（x），4大于等于區間長度3a²-（-a²），
∴4≥3a²-（-a²），
∴-1≤a≤1，即實數a的取值范圍是[-1，1]．
故選A．

點評：本題主要考查學生的閱讀能力，應用知識分析解決問題的能力，考查數形結合的能力，用圖解決問題的能力，屬中檔題．