Question

2．已知函數f（x）=2sinωx（ω＞0）的圖象中相鄰兩條對稱軸之間的距離為2π，將f（x）的圖象向右平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）個單位后得到函數g（x）的圖象，g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為1．
（1）求函數g（x）的解析式；
（2）在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若C是函數g（x）的最小正零點，且c=4，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據y=f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸的距離為2π，確定函數的周期，即可求ω的值，利用三角函數的平移關系，結合正弦函數的單調性可求φ，進而求出g（x）的表達式．
（2）由題意可得2sin$\frac{1}{2}$（C-$\frac{π}{6}$）=0，結合范圍C∈（0，π），可得C=$\frac{π}{6}$，由余弦定理，基本不等式可求ab≤$\frac{16}{2-\sqrt{3}}$，利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（1）若y=f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸的距離為2π，
則函數的周期T=2×2π=4π，
即$\frac{2π}{ω}$=4π，解得ω=$\frac{1}{2}$；
∴函數f（x）=2sin$\frac{1}{2}$x，
將y=f（x）的圖象向右平移φ個單位得到g（x）=2sin$\frac{1}{2}$（x-φ），
∵g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為1．
又∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得：g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上單調遞增，
∴2sin$\frac{1}{2}$（$\frac{π}{2}$-φ）=1，解得：$\frac{1}{2}$（$\frac{π}{2}$-φ）=$\frac{π}{6}$，解得：φ=$\frac{π}{6}$．
∴g（x）的解析式為：g（x）=2sin$\frac{1}{2}$（x-$\frac{π}{6}$）．
（2）∵C是函數g（x）的最小正零點，
∴2sin$\frac{1}{2}$（C-$\frac{π}{6}$）=0，
∵C∈（0，π），可得：$\frac{1}{2}$（C-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$），
∴$\frac{1}{2}$（C-$\frac{π}{6}$）=0，可得：C=$\frac{π}{6}$，
又∵c=4，
∴由余弦定理可得：16=a²+b²-$\sqrt{3}$ab≥（2-$\sqrt{3}$）ab，解得：ab≤$\frac{16}{2-\sqrt{3}}$，（當且僅當a=b時等號成立）
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{4}{2-\sqrt{3}}$=8+4$\sqrt{3}$，（當且僅當a=b時等號成立）
故△ABC的面積的最大值為8+4$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查三角函數的平移關系，正弦函數的單調性，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式的應用，根據條件求出函數的解析式是解決本題的關鍵，考查了轉化思想，屬于中檔題．