Question

已知：函數f（x）=x+2a（a∈R），且不等式f²（x）＜4的解集是（2，6）
（1）求：實數a的值；
（2）求：不等式

x

f(x)

≤0的解集．
（3）解關于x的不等式：x•f（x）+m＞0（m∈R）

Answer 1

分析：（1）f²（x）＜4 等價于 x²+4ax+4a²-4＜0，根據不等式f²（x）＜4的解集是（2，6）可得

2+6=-4a 2×6=4a2-4

，
解方程求得實數a的值．
（2）由上可知 f（x）=x-4，可得

x

f(x)

≤0?

x

x-4

≤0，從而求得x的范圍，即為所求．
（3）不等式即x²-4x+m＞0，△=16-4m，結合對應的二次函數的圖象分△大于0、等于0、小于0三種情況分別求出
不等式的解集．

解答：解：（1）f²（x）＜4?x²+4ax+4a²-4＜0，（2分）
∵不等式f²（x）＜4的解集是（2，6），∴

2+6=-4a 2×6=4a2-4

⇒a=-2．（4分）
（2）∵由上可知 f（x）=x-4，∴

x

f(x)

≤0?

x

x-4

≤0，（5分）∴x≤0或x＞4，
∴不等式

x

f(x)

≤0的解集：（-∞，0]∪（4，+∞）．（7分）
（3）x•f（x）+m＞0即為x²-4x+m＞0，△=16-4m．
①當m＞4時，△=16-4m＜0，x∈R，即此時不等式的解集為R．
②當m=4時，△=16-4m=0，x≠2，即此時不等式的解集為{x|x≠2 }．
③當m＜4時，△=16-4m＞0，x＜2-

4-m

或x＞2+

4-m

，
即此時不等式的解集為{x|x＜2-

4-m

，或x＞2+

4-m

 }．（10分）

點評：本題考查一元二次不等式的應用，體現了分類討論的數學思想．