Question

幾何圖形是最富于變化的，直角三角形更是如此，但不管怎樣變化，其基本圖形體現的規律卻是相同的，如射影定理的基本圖形.這時，從復雜圖形中分離出基本圖形，就成為解決問題的關鍵.那么從復雜圖形中分離出基本圖形有什么竅門呢？你能舉例說明嗎？

Answer 1

思路:從所給圖形中分離出基本圖形，利用基本圖形寫出結論.

探究:在圖形的變化中熟悉并掌握射影定理的使用方法，有助于快速發現解題思路.這當中的關鍵就是把握基本圖形，從所給圖形中分離出基本圖形.如:

(1)在圖1-4-4(c)中，求證:CF·CA=CG·CB.

(2)在圖1-4-4(a)中，求證:FG·BC=CE·BG.

(3)在圖1-4-4(d)中，求證:①CD³=AF·BG·AB；②BC²∶AC²=CF∶FA;

③BC³∶AC³=BG∶AE.就可以這樣來思考:

圖1-4-4

    在第(1)題中，觀察圖形則發現分別使用CD²=CF·CA和CD²=CG·CB即可得到證明.

第(2)題可用綜合分析法探求解題的思路:欲證FG·BC=CE·BG，只需證，而這四條線段分別屬于△BFG和△BEC，能發現這兩個三角形存在公共角∠EBC，可選用“兩角對應相等”或“兩邊對應成比例，夾角相等”來證明相似.

或者在圖1-4-4(a)中可分解出兩個射影定理的基本圖形:“Rt△ADE中DG⊥BE”及“Rt△BDC中DF⊥BC”，在兩個三角形中分別使用射影定理中的BD²進行代換，得到BG·BE=BF·BC，化成比例式后，可用“兩邊對應成比例，夾角相等”來證明含有公共角∠EBC的△BFG和△BEC相似.

你可以嘗試著自己分析第(3)小題.