Question

三棱臺是一種重要的多面體，對于圖中A₁B₁C₁－ABC，請思考如下問題：

(1)三條側棱所在的直線一定相交于一點嗎？

(2)棱臺的側面是什么樣的特殊四邊形？

(3)兩底面△A₁B₁C₁與△ABC是否具有相似的關系？

若A₁B₁∶AB＝2∶3，求．

任意一個棱臺的上下底面多邊形都是相似多邊形嗎？(注：這里的兩個多邊形相似是指它們的對應邊分別成比例，對應角分別相等)

(4)若A₁B₁＝AB，則此時的三棱臺A₁B₁C₁－ABC可演變成什么樣的幾何體？

若A₁、B₁、C₁三點收縮為一點(記為P)，則此時的三棱臺A₁B₁C₁－ABC即P－ABC又演變成了什么樣的幾何體？

(5)如果幾何體A₁B₁C₁－ABC滿足△A₁B₁C₁與△ABC相似但不全等，那么這個幾何體一定是三棱臺嗎？

Answer 1

答案：
解析：

由棱柱、棱錐、棱臺的定義，我們可以知道它們之間有如下關系： 　　又根據定義，棱臺與棱錐有很密切的關系，在思考棱臺的性質時常常要考慮這一關系．下面我們對以上問題做如下思考： 　　(1)根據定義，棱臺是棱錐被平行于底面的一個平面所截后，截面和底面之間的部分．所以我們可將三條棱臺的側棱延長得到一個三棱錐，從而三條側棱所在的直線相交于一點． 　　(2)也是根據定義，棱臺的側面應該是三角形被平行于底邊的直線所截后，截線和底線之間的部分，這是一個梯形． 　　(3)由于三棱臺兩底面對應邊互相平行，容易得到它們的對應角相等，所以上下底面是相似的多邊形．由相似多邊形的知識可知棱臺上下底面面積比等于相似比的平方，即＝4∶9． 　　(4)當A1B1＝AB，上下底面是全等多邊形時，棱臺變化成棱柱；當棱臺的一個底面縮為一個點時，棱臺變?yōu)槔忮F． 　　(5)我們考慮將三棱柱的上底面旋轉一個角度后的情況，此時仍滿足上下底面相似但不全等，但形成的圖形可能已經不是一個三棱柱了．我們有結論：當不全等的兩相似三角形位置擺法不“正”時，不是三棱臺．