Question

已知A、B、C是△ABC的三個內角，y=cotA+

2sinA

cosA+cos(B-C)

．
（1）若任意交換兩個角的位置，y的值是否變化？試證明你的結論．
（2）求y的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用誘導公式對y的表達式進行化簡整理求得y=cotA+cotB+cotC，進而可推斷出任意交換兩個角的位置，y的值均不變化．
（2）利用同角三角函數的基本關系和cos（B-C）的范圍，可確定y的范圍，進而求得y的最小值．

解答：解：（1）∵y=cotA+

2sin[π-(B+C)]

cos[π-(B+C)]+cos(B-C)

=cotA+

2sin(B+C)

-cos(B+C)+cos(B-C)

=cotA+

sinBcosC+cosBsinC

sinBsinC

=cotA+cotB+cotC，
∴任意交換兩個角的位置，y的值不變化．

（2）∵cos（B-C）≤1，
∴y≥cotA+

2sinA

1+cosA

=

1-tan2 A 2

2tan A 2

+2tan

A

2

=

1

2

（cot

A

2

+3tan

A

2

）≥

3tan A 2 •cot A 2

=

3

．
故當A=B=C=

π

3

時，y_min=

3

．

點評：本題主要考查了三角函數的最值，誘導公式的化簡求值，以及同角三角函數的基本關系的應用．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．