Question

【題目】 如圖所示的幾何體中， ，平面，且平面，正方形的邊長為2，為棱中點，平面分別與棱交于點.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）求的長.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；

（Ⅱ）見解析；

（Ⅲ）2.

【解析】

（1）利用線面平行判定定理證得平面，再利用線面平行性質定理證得；

（2）證明直線平面，即證明垂直平面內的兩條相交直線；

（3）建立空間直角坐標系，設，由，求得。

（1）證明：因為為正方形，所以，

又平面，平面，

所以平面.

因為平面平面，平面，

所以.

（2）證明：因為平面，所以.

因為是正方形，所以，又，

所以平面，所以.

因為為棱中點，且，

所以，又，

所以平面，又平面，

所以平面平面.-

（3）如圖所示，以分別軸建立空間直角坐標系，

因為，所以，，則

因為，

設，且，則，

由（2）可知平面，平面，所以，

所以，即，

所以.