Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC為等腰直角三角形，∠B = 90⁰，D為棱BB₁上一點，且面DA₁ C⊥面AA₁C₁C..

(1)求證：D為棱BB₁中點；

（2）為何值時，二面角A －A₁D － C的平面角為60⁰.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析    （2）＝ . 

【解析】(1) 過點D作DE ⊥ A₁ C 于E點，取AC的中點F，連BF ﹑EF.然后證明DE∥BF.進而證明四邊形DEFB為平行四邊形，從而證得D為BB₁的中點.

(2)本小題可以采用傳統方法，也可以采用向量法.采用傳統方法關鍵是找出二面角A －A₁D － C的平面角. 具體做法:延長A₁ D與直線AB相交于G，易知CB⊥面AA₁B₁B，過B作BH⊥A₁ G于點H，連CH，由三垂線定理知：A₁ G⊥CH，由此知∠CHB為二面角A －A₁D － C的平面角.

（1）過點D作DE ⊥ A₁ C 于E點，取AC的中點F，連BF ﹑EF.

∵面DA₁ C⊥面AA₁C₁C且相交于A₁ C，面DA₁ C內的直線DE ⊥ A₁ C

∴直線DE⊥面AA₁C₁C                        ………3分

又∵面BA C⊥面AA₁C₁C且相交于AC，易知BF⊥AC，∴BF⊥面AA₁C₁C由此知：DE∥BF ，從而有D，E，F，B共面，又易知BB₁∥面AA₁C₁C，故有DB∥EF ，從而有EF∥AA₁，又點F是AC的中點，所以DB ＝ EF ＝  AA₁ ＝  BB₁，

所以D點為棱BB₁的中點；             …………6分

（2）解法1：延長A₁ D與直線AB相交于G，易知CB⊥面AA₁B₁B，

過B作BH⊥A₁ G于點H，連CH，由三垂線定理知：A₁ G⊥CH，

由此知∠CHB為二面角A －A₁D － C的平面角；                     ………9分

設AA₁ ＝ 2b ，AB＝BC ＝；在直角三角形A₁A G中，易知 AB ＝ BG.

在DBG中，BH ＝  ＝ ，

在CHB中，tan∠CHB ＝  ＝ ，

據題意有： ＝ tan60⁰ ＝  ，解得：，所以 ＝ .…13分

(2)解法2：建立如圖所示的直角坐標系，

設AA₁ ＝ 2b ，AB＝BC ＝ ，

則D（0,0,b）,  A₁ (a,0,2b),  C (0,a,0)

所以，         ………8分

設面DA₁C的法向量為則 

可取   平面AA₁DB的法向量

cos〈〉    ………10分

據題意有：，………………12分

解得： ＝