Question

定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界.
已知函數(shù)；.
（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若，函數(shù)在上的上界是，求的取值范圍.

Answer 1

（1）在的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161837418381.gif" style="vertical-align:middle;" />，故不存在常數(shù)，使成立
所以函數(shù)在上不是有界函數(shù)。
（2）實(shí)數(shù)的取值范圍為。
（3）當(dāng)時，的取值范圍是；
當(dāng)時，的取值范圍是

[解]：（1）當(dāng)時， 
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161837372270.gif" style="vertical-align:middle;" />在上遞減，所以，即在的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161837418381.gif" style="vertical-align:middle;" />
故不存在常數(shù)，使成立
所以函數(shù)在上不是有界函數(shù)。   ……………4分（沒有判斷過程，扣2分）
（2）由題意知，在上恒成立。………5分
，         
∴  在上恒成立………6分
∴   ………7分
設(shè)，，，由得 t≥1，
設(shè)，

所以在上遞減，在上遞增，………9分（單調(diào)性不證，不扣分）
在上的最大值為， 在上的最小值為 
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為。…………………………………11分
（3），∵   m>0 ，     ∴ 在上遞減，…12分
∴      即………13分
①當(dāng)，即時，， ………14分
此時 ，………16分②當(dāng)，即時，，
此時 ，   ---------17分
綜上所述，當(dāng)時，的取值范圍是；
當(dāng)時，的取值范圍是………18分