Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）上一動點P，拋物線內一點A（3，2），F為焦點且|PA|+|PF|的最小值為．（1）求拋物線的方程以及使得|PA|+|PF|取最小值時的P點坐標；（2）過（1）中的P點作兩條互相垂直的直線與拋物線分別交于C、D兩點，直線CD是否過一定點？若是，求出該定點的坐標，若不是，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由已知，（|PA|+|PF|）_min=3+，
∴p=1，
∴拋物線方程為：y²=2x，
此時P點坐標為（2，2）．
（2）設，，
則直線CD的方程為：，
即：，
∵PC⊥PD，∴，
∴y₁y₂=-8-2（y₁+y₂），
代入直線CD，得，
即：，
∴直線CD過定點（4，-2）．
分析：（1）由已知，（|PA|+|PF|）_min=3+，由此能求出拋物線方程和P點坐標．
（2）設，，則直線CD的方程為，由PC⊥PD，得y₁y₂=-8-2（y₁+y₂），代入直線CD，得，由此知直線CD過定點（4，-2）．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．