Question

已知△ABC的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且acosC+

1

2

c=b．
（1）求角A的大小；
（2）若bc=2，求邊長a的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據正弦定理與三角恒等變換公式化簡題中的等式，可得

1

2

sinC=cosAsinC，結合△ABC中sinC＞0算出cosA=

1

2

，從而可得角A的大小；
（2）根據基本不等式可得b²+c²≥2bc=4，由余弦定理算出a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-2，從而得出a²≥2，由此可得當且僅當b=c時，邊a的最小值為

2

．

解答：解：（1）∵acosC+

1

2

c=b，∴由正弦定理，得sinAcosC+

1

2

sinC=sinB．
∵在△ABC中，A+C=π-B，∴sinB=sin（π-B）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+

1

2

sinC=sinAcosC+cosAsinC，可得

1

2

sinC=cosAsinC，
又∵在△ABC中，sinC＞0，
∴等式兩邊約去sinC，可得cosA=

1

2

，結合A∈（0，π）可得A=

π

3

；
（2）∵在△ABC中，A=

π

3

，bc=2，
∴由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-2×2×cos

π

3

=b²+c²-2，
又∵b²+c²≥2bc，即b²+c²≥4，
∴a²=b²+c²-2≥4-2=2，當且僅當b=c時等號成立．
因此，當b=c=

2

時，a²的最小值為2，可得邊a的最小值為

2

．

點評：本題已知△ABC的邊角關系，求角A的大小并在bc=2的情況下求邊a的最小值．著重考查了三角恒等變換、正余弦定理和基本不等式等知識，屬于中檔題．