Question

【題目】已知，點在軸上，點在軸上，且，，當點在軸上運動時，動點的軌跡為曲線.過軸上一點的直線交曲線于，兩點.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）證明：存在唯一的一點，使得為常數(shù)，并確定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1） （2）證明見解析；.

【解析】

（1）根據(jù)題意，畫出幾何圖形，設(shè)，由幾何關(guān)系可知，結(jié)合點的坐標即可求得的關(guān)系，化簡即可求得曲線的軌跡方程；

（2）由點在軸上，可設(shè)，設(shè)出過點的直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，并由兩點間距離公式表示出，并代入中化簡即可求得常數(shù)的值，即可確定點的坐標.

（1）根據(jù)題意可知，，點在軸上，點在軸上，且，，畫出幾何關(guān)系如下圖所示：

設(shè)，為中點，

因為在軸上，所以點的橫坐標為，

由等腰三角形三線合一可知，

即，展開化簡可得，

所以曲線的軌跡方程為.

（2）證明：點為軸上一點，設(shè)，

則過點的直線方程為，交拋物線于，兩點.

則，化簡變形可得，

所以，

由兩點間距離公式可得，

，

所以

將代入化簡可得

，

所以當時為常數(shù)，且，

此時.