Question

求過兩點A（1，4）、B（3，2），且圓心在直線y=0上的圓的標準方程．并判斷點M₁（2，3），M₂（2，4）與圓的位置關系．

Answer 1

分析：要求圓的標準方程，只要求得圓心坐標和圓的半徑即可，根據垂徑定理可知圓心在線段AB的垂直平分線上，所以求出線段AB的中垂線方程與直線y=0聯立即可求出圓心坐標，然后利用兩點間的距離公式求出AO的長即為半徑，然后分別求出M₁和M₂到圓心的距離與半徑比較大小即可得到與圓的位置關系．

解答：解：因為圓過A、B兩點，所以圓心在線段AB的垂直平分線上．由k_AB=

4-2

1-3

=-1，
AB的中點為（2，3），
故AB的垂直平分線的方程為y-3=x-2，即x-y+1=0．
又圓心在直線y=0上，
因此圓心坐標是方程組的解，即圓心坐標為（-1，0）

x-y+1=0 y=0

．
半徑r=

(-1-1)2+(0-4)2

=

20

，
所以得所求圓的標準方程為（x+1）²+y²=20．
因為M₁到圓心C（-1，0）的距離為

(2+1)2+(3-0)2

=

18

，|M₁C|＜r，所以M₁在圓C內；而點M₂到圓心C的距離|M₂C|=

(2+1)2+(4-0)2

=

25

＞

20

，所以M₂在圓C外．

點評：考查學生會根據條件求圓的標準方程，會根據點到圓心的距離與半徑比較大小得出點與圓的位置關系．