Question

沿海地區某農村在2002年底共有人口1480人，全年工農業生產總值為3180萬元．從2003年起計劃10年內該村的總產值每年增加60萬元，人口每年凈增a人，設從2003年起的第x年（2003年為第一年）該村人均產值為y萬元．
（1）寫出y與x之間的函數關系式；
（2）為使該村的人均產值年年都有增長，那么該村每年人口的凈增不能超過多少人？

Answer 1

（1）解：依題意得第x年該村的工農業生產總值為（3180+60x）萬元，
而該村第x年的人口總數為（1480+ax）人，
∴y=（1≤x≤10）．
（2）解法一：為使該村的人均產值年年都有增長，則在1≤x≤10內，y=f（x）為增函數．
設1≤x₁＜x₂≤10，則
f（x₁）-f（x₂）=-
=
=．
∵1≤x₁＜x₂≤10，a＞0，
∴由f（x₁）＜f（x₂），得88800-3180a＞0．
∴a＜≈27.9．又∵a∈N^*，∴a=27．
解法二：∵y=（）
=[1+]，
依題意得53-＜0，∴a＜≈27.9．
∵a∈N^*，∴a=27．
答：該村每年人口的凈增不能超過27人．
分析：（1）據人均產值=，列出y與x的關系
（2）法一是利用單調遞增函數的定義，設出有大小的兩自變量得到其函數值的大小，列出不等式求出a的范圍．
方法二是先將函數分離常數，再利用函數是增函數，得到分子小于0，列出不等式求出a的范圍．
點評：本小題主要考查函數知識、函數的單調性，考查數學建模，運用所學知識解決實際問題的能力．