Question

我們把數列{a_n^k}叫做數列{a_n}的k方數列（其中a_n＞0，k，n是正整數），S（k，n）表示k方數列的前n項和．
（Ⅰ）試比較S（1，2）•S（3，2）與[S（2，2）]²的大�。�
（Ⅱ）若數列{a_n}滿足：[S（1，n）]²=S（3，n），求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題中的新定義分別表示出S（1，2），S（3，2）與S（2，2），進而表示出S（1，2）•S（3，2）與[S（2，2）]²的差，根據a_n＞0，判斷差為非負數，即可比較出所求兩式的大小；
（Ⅱ）根據原題的新定義分別表示出S（1，n）及S（3，n），代入已知的等式，再利用等差數列的求和公式化簡等式左邊的底數，得到S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³，當n大于等于2時，得到S_n-1²=a₁³+a₂³+…+a_n-1³，兩式相減后，左邊利用平方差公式分解因式，再根據S_n-S_n-1=a_n進行變形，求出S_n+S_n-1的值，進而當n大于等于3時，兩式相減，再根據S_n-S_n-1=a_n進形變形，進而求出a_n-a_n-1的值及a₁的值，確定出數列{a_n}為等差數列，根據確定出的公差及首項寫出通項公式即可．

解答：解：（Ⅰ）依條件知：
S（1，2）=a₁+a₂，S（3，2）=a₁³+a₂³，S（2，2）=a₁²+a₂²．（3分）
∴S（1，2）•S（3，2）-[S（2，2）]²
=（a₁+a₂）（a₁³+a₂³）-（a₁²+a₂²）²
=a₁a₂³+a₂a₁³-2a₁²a₂²
=a₁a₂（a₁-a₂）²，
∵a_n＞0，
∴S（1，2）•S（3，2）≥[S（2，2）]²；（6分）
（Ⅱ）由[S（1，n）]²=S（3，n）得：
（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³．n∈N^*．（7分）

S 2 n = a 3 1 + a 3 2 +…+ a 3 n S 2 n-1 = a 3 1 +…+ a 3 n-1 ，n≥2

⇒(Sn+Sn-1)•an=

a

3 n

，n≥2．又a_n＞0．
∴S_n+S_n-1=a_n²，n≥2．
則S_n-1+S_n-2=a_n-1²，n≥3，
將兩式相減得：a_n+a_n-1=a_n²-a_n-1²，n≥3，又a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1，n≥3．（11分）又a₁²=a₁³且a₁≠0，
∴a₁=1．（a₂+1）²=a₂³+1且a₂＞0，
∴a₂=2，即a₂-a₁=1．
∴n≥2時均有a_n-a_n-1=1．
∴數列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列．
故a_n=1+（n-1）×1=n．（13分）

點評：此題考查了等差數列的性質，等差數列的通項公式及求和公式，以及數列的函數特征，屬于新定義型題，解答此類題要求學生認真審題，弄清題中的新定義，進而利用等差數列的性質、求和公式及遞推公式S_n-S_n-1=a_n進行變形來解決問題．