Question

已知數列{a_n}，a₁=1，a_n=λa_n-1+λ-2（n≥2）．
（1）當λ為何值時，數列{a_n}可以構成公差不為零的等差數列？并求其通項公式；
（2）若λ=3，令b_n=a_n+

1

2

，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，a_n=λa_n-1+λ-2（≥2），我們可以求出a₂，a₃（含參數λ），根據等差的性質，我們可以根據a₁+a₃=2a₂，構造一個含λ的方程，解方程，并對λ值代入進行討論，即可得到答案．
（2）若λ=3，利用綜合法我們易求出數列a_n}的通項公式，再根據b_n=a_n+

1

2

，求出{b_n}的通項公式，根據其通項公式，選擇合適的求和法，求出數列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）a₂=λa₁+λ-2=2λ-2，
a₃=λa₂+λ-2=2λ²-2λ+λ-2=2λ²-λ-2，
∵a₁+a₃=2a₂，
∴1+2λ²-λ-2=2（2λ-2），
得2λ²-5λ+3=0，
解得λ=1或λ=

3

2

．
當λ=

3

2

時，
a₂=2×

3

2

-2=1，a₁=a₂，
故λ=

3

2

不合題意舍去；
當λ=1時，代入a_n=λa_n-1+λ-2可得a_n-a_n-1=-1，
∴數列{a_n}構成首項為a₁=1，公差為-1的等差數列，
∴a_n=-n+2．
（2）由λ=3可得，a_n=3a_n-1+3-2，即a_n=3a_n-1+1．
∴a_n+

1

2

=3a_n-1+

3

2

，
∴a_n+

1

2

=3(an-1+

1

2

)，
即b_n=3b_n-1（n≥2），又b₁=a₁+

1

2

=

3

2

，
∴數列{b_n}構成首項為b₁=

3

2

，公比為3的等比數列，
∴b_n=

3

2

×3^n-1=

3n

2

，
∴S_n=

3 2 (1-3n)

1-3

=

3

4

（3ⁿ-1）．

點評：要判斷一個數列是否為等差（比）數列，我們常用如下幾種辦法：①定義法，判斷數列連續兩項之間的差（比）是否為定值；②等差（比）中項法，判斷是否每一項都是其前一項與后一項的等差（比）中項；③通項公式法，判斷其通項公式是否為一次（指數）型函數；④前n項和公式法．