Question

已知n次多項式P_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n.

如果在一種算法中,計算x₀^k(k=2,3,4,…,n)的值需要k-1次乘法,計算P₃(x₀)的值共需要9次運算(6次乘法,3次加法),那么計算P₁₀(x₀)的值共需要_________________次運算.

下面給出一種減少運算次數(shù)的算法：

P₀(x)=a₀,P_k+1(x)=xP_k(x)+a_k+1(k=0,1,2,…,n-1),利用該算法,計算P₃(x₀)的值共需要6次運算,計算P₁₀(x₀)的值共需要______________________次運算.

Answer 1

解析：計算P₃(x₀)=a₀x₀³+a₁x₀²+a₂x₀+a₃,

其中x₀^k需k-1次乘法,

∴a_n-k·x₀^k共需k次乘法.

上式中運算為3+2+1=6次,另外還有3次加法,共9次.

由此產(chǎn)生規(guī)律：當計算P₁₀(x₀)時,有P₁₀(x₀)=a₀x₀¹⁰+a₁x₀⁹+…+a₁₀

計算次數(shù)為10+9+8+…+1+10=+10=65次.

第2問中需注意

P₃(x₀)=x·P₂(x₀)+a₃,

P₂(x₀)=x·P₁(x₀)+a₂,

P₁(x₀)=x·P₀(x₀)+a₁.

顯然P₀(x₀)為常數(shù)不需計算.

∴計算為每次一個乘運算一個加運算共3×2=6次.

由此運用不完全歸納法知

P₁₀(x₀)=x·P₉(x₀)+x₁₀,

P₉(x₀)=x·P₈(x₀)+a₉,

…,

P₁(x₀)=x·P₀(x₀)+a₁.

其中共有10×2=20個運算過程

答案：65  20