Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCd是∠DAB=60°且邊長為a的菱形，側面PAD是等邊三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．
（1）若G為AD的中點，求證：BG⊥平面PAD；
（2）求證：AD⊥PB；
（3）求二面角A-BC-P的大小．

Answer 1

分析：（1）根據△ABD為等邊三角形且G為AD的中點，則BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，根據面面垂直的判定定理可知BG⊥平面PAD；
（2）根據△PAD是等邊三角形且G為AD的中點，則AD⊥PG，且AD⊥BG，PG∩BG=G，滿足線面垂直的判定定理，則AD⊥平面PBG，而PB?平面PBG，根據線面垂直的性質可知AD⊥PB；
（3）證明∠PBG是二面角A-BC-P的平面角，即可求得結論．

解答：（1）證明：∵△ABD為等邊三角形且G為AD的中點，
∴BG⊥AD
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BG⊥平面PAD
（2）證明：∵△PAD是等邊三角形且G為AD的中點，
∴AD⊥PG
∵AD⊥BG，PG∩BG=G，
∴AD⊥平面PBG，PB?平面PBG，
∴AD⊥PB；
（3）解：∵AD⊥PB，AD∥BC，∴BC⊥PB，
∵BG⊥AD，AD∥BC，
∴BG⊥BC，
∴∠PBG是二面角A-BC-P的平面角，
在直角△PBG中，PG=BG，∴∠PBG=45°，
∴二面角A-BC-P的平面角是45°．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及空間中直線與直線之間的位置關系，考查面面角，同時考查了空間想象能力、劃歸與轉化的思想，屬于中檔題．