Question

已知{a_n}是各項都為正數的數列，其前n項和為S_n，且滿足2a_nS_n-a_n²=1．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）令T_n=++…+，求證T_n≤．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）令n=1，導出a₁=1．令n=2，導出．令n=3可解得．
（Ⅱ）由2s_na_n-a_n=1，a_n=s_n-s_n-1，知s_n²-s_n-1²=1，所以s₂ⁿ=1+n-1=n，．
（Ⅲ）≤1+=1+1-1+（1）+（）+（）=2-=．
解答：解：（Ⅰ）令n=1則有2a₂¹-a₂¹=1，⇒a₁=1（a₁=-1舍去）．
令n=2，得2（a₁+a₂）a₂-a₂²=1，即a₂²+2a₂-1=0．
∴（舍去負值）．
同理，令n=3可解得．（3分）
（Ⅱ）∵2s_na_n-a_n=1，①
又n≥2時有a_n=s_n-s_n-1，代入①式并整理得s_n²-s_n-1²=1．
∴s_n²是首項為1，公差為1的等差數列．（6分）
∴s_n²=1+n-1=n，∴（n≥2），又a₁=1
∴．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知≤1+
=1+1-1+（1）+（）+（）=2-=
即．（12分）
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意公式的靈活運用．