Question

已知函數f（x）=（k+1）x³-3（k+2）x²-k²-2k（k＞-1）．
（1）若f（x）的單調遞減區間為（0，4），求k的值；
（2）當k的值滿足（1）時，求過M（1，-5）作曲線f（x）的切線的方程

Answer 1

【答案】分析：（1）先由原函數f（x）=（k+1）x³-3（k+2）x²-k²-2k，求出其導數f′（x），再由題意得：f′（x）＜0的解集為（0，4），
最后根據方程的思想求出k值即可；
（2）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
解答：解：（1）∵f（x）=（k+1）x³-3（k+2）x²-k²-2k，
f′（x）=3（k+1）x²-6（k+2）x，f′（x）＜0的解集為（0，4），
得4是方程3（k+1）x²-6（k+2）x=0的一個根，
把x=4代入，得k=0．
（2）∵（1，-5）在曲線f（x）=x³-6x²上，
∴斜率t=f′（x）|_x-1=3x²-12x|_x-1=3+12=15
∴所求切線方程為y+5=15（x-1），即為15x-y-20=0
點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究函數的單調性、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查考查數形結合思想．屬于基礎題．