Question

（06年天津卷文）（14分）

       如圖，雙曲線的離心率為、分別為左、右焦

點(diǎn)，M為左準(zhǔn)線與漸近線在第二象限內(nèi)的交點(diǎn)，且

      

 

（I）求雙曲線的方程；

（II）設(shè)和是軸上的兩點(diǎn)。過點(diǎn)A作斜率不為0的直線使得交雙曲線于C、D兩點(diǎn)，作直線BC交雙曲線于另一點(diǎn)E。證明直線DE垂直于軸。

Answer 1

本小題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、平面向量、曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基礎(chǔ)知識和基本思想方法，考查推理及運(yùn)算能力。

解析：（I）根據(jù)題設(shè)條件，

       設(shè)點(diǎn)則、滿足

             

       因解得，故

      

                     　

       利用得于是因此，所求雙曲線方程為

             

      

（II）設(shè)點(diǎn)則直線的方程為

             

       于是、兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足　　　

       將①代入②得

             

       由已知，顯然于是因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090331/20090331091846025.gif' width=45>得

             

       同理，、兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足

             

       可解得

             

       所以，故直線DE垂直于軸。